Wer Wellen, Bolzen oder Spannelemente dauerfest auslegen will, kommt an der Formzahl nicht vorbei. Dieser Kennwert beschreibt, wie stark eine Kerbe – etwa ein Wellenabsatz, eine Passfedernut oder ein Sicherungsring-Einstich – die Spannung an der kritischen Stelle gegenüber der ungestörten Nennspannung erhöht. Wird dieser Faktor falsch eingeschätzt, droht ein unterdimensioniertes Bauteil – mit teuren Folgen bei einem Ermüdungsbruch im Dauerbetrieb. Dieser Beitrag erklärt die Definition, zeigt die Formel samt zwei Rechenbeispielen, liefert eine Tabelle typischer Werte für den Maschinen- und Vorrichtungsbau, beschreibt den Weg von der Normdiagramm-Ablesung bis zur FEM-Simulation und benennt die Fehler, die in der Praxis am häufigsten passieren.

Die Formzahl – im Formelzeichen meist als α_k geschrieben – ist ein dimensionsloser Kennwert aus der Festigkeitslehre. Sie gibt an, um welchen Faktor die tatsächliche Spitzenspannung an einer Kerbe größer ist als die rechnerische Nennspannung, die sich ohne Berücksichtigung der Kerbe ergeben würde. Physikalisch beschreibt dieser Spannungskonzentrationsfaktor damit die sogenannte Spannungsüberhöhung, die durch jede geometrische Unstetigkeit – jeden Querschnittsübergang, jede Bohrung, jede Nut – entsteht, weil sich die Spannungslinien im Bauteil an solchen Stellen „stauen“ und sich dadurch lokal verdichten.

Wichtig für das Verständnis: Diese Kenngröße ist rein geometrisch. Sie hängt ausschließlich von der Bauteilform ab – vom Verhältnis der Durchmesser an einem Wellenabsatz, vom Radius im Übergang, von der Nuttiefe – nicht aber vom verwendeten Werkstoff und nicht von der Belastungsart im Sinne einer Materialreaktion (Zug, Biegung und Torsion wirken jeweils mit einem eigenen geometrischen Faktor, aber die Werkstoffreaktion selbst spielt für diesen Wert keine Rolle). Das unterscheidet den rein geometrischen Kennwert von der verwandten Kerbwirkungszahl, die weiter unten im Detail erklärt wird.

Je kleiner der Übergangsradius und je größer der Durchmessersprung an einer Kerbe, desto höher fällt αk aus – und desto empfindlicher reagiert das Bauteil auf schwingende Belastung. Konstrukteure im Vorrichtungs- und Spannmittelbau arbeiten daher ständig mit diesem geometrischen Faktor, ohne ihn immer explizit zu benennen: Jede großzügig ausgerundete Kante an einem Spannbolzen ist im Kern eine Entscheidung gegen eine zu hohe Spannungskonzentration.

Die Grundformel für diesen Spannungskonzentrationsfaktor ist denkbar einfach – die eigentliche Herausforderung liegt in der Ermittlung der Eingangsgrößen:

α_k = σ_max / σ_n
α_k = geometrischer Kennwert (dimensionslos)  |  σ_max = tatsächliche Spitzenspannung an der Kerbe  |  σ_n = rechnerische Nennspannung im ungekerbten Querschnitt

Für die Torsion gilt die analoge Beziehung mit der Schubspannung:

α_kt = τ_max / τ_n

Das Problem: σ_max lässt sich in der Praxis kaum direkt messen. Deshalb wird αk nicht aus dieser Definitionsformel berechnet, sondern aus experimentell oder per Finite-Elemente-Methode ermittelten Diagrammen und Tabellenwerken abgelesen oder über empirische Näherungsformeln bestimmt, die das Geometrieverhältnis (z. B. D/d und r/d an einem Wellenabsatz) als Eingangsgröße nutzen. Die wichtigsten Quellen dafür sind:

• DIN 743-2 – normierte Diagramme für den Spannungskonzentrationsfaktor bei Wellen mit Rundkerbe, Freistich, Querbohrung, Passfedernut und Keilnut
• FKM-Richtlinie „Rechnerischer Festigkeitsnachweis“ – branchenübergreifende Näherungsformeln und Diagramme, teils mit erweitertem Geltungsbereich gegenüber DIN 743
• Klassische Tabellenwerke und Diagramme nach Neuber bzw. Siebel/Stieler, wie sie in Konstruktionslehrbüchern (z. B. Roloff/Matek Maschinenelemente) abgedruckt sind
• FEM-Simulation für komplexe, in Normdiagrammen nicht abgebildete Geometrien oder bei überlagerten Kerben

In allen Fällen gilt derselbe Grundgedanke: Zunächst wird die Nennspannung σ_n über die klassische Festigkeitslehre bestimmt (Kraft durch Querschnittsfläche bzw. Moment durch Widerstandsmoment), anschließend wird sie mit dem aus Diagramm oder Formel ermittelten Kennwert multipliziert, um die tatsächliche Spitzenspannung zu erhalten.

In der täglichen Konstruktionsarbeit läuft die Bestimmung dieses Kennwerts meist in drei möglichen Stufen ab, die sich nach Aufwand und Genauigkeit unterscheiden:

1. Normdiagramm-Ablesung

Für Standardgeometrien – Wellenabsatz, Rundkerbe, Querbohrung, Passfedernut, Freistich – bieten DIN 743-2 und die FKM-Richtlinie doppellogarithmische Diagramme, in denen die Kurvenscharen über das Verhältnis r/d (Radius zu Durchmesser) und D/d (großer zu kleinem Durchmesser) aufgespannt sind. Die Ablesung erfolgt durch Interpolation zwischen den gezeichneten Kurven – ungenau, aber für Vorauslegungen meist ausreichend.

2. Näherungsformeln

Für viele Standardfälle existieren geschlossene Näherungsformeln, etwa nach Siebel/Stieler, die den Kennwert direkt aus den Geometrieverhältnissen berechnen, ohne ein Diagramm abzulesen. Diese eignen sich besonders gut für die Automatisierung in eigenen Berechnungstools oder Tabellenblättern, da sie sich ohne grafische Interpolation programmieren lassen.

3. FEM-Simulation

Bei Geometrien, die von den tabellierten Standardfällen abweichen – mehrfach gekerbte Bauteile, asymmetrische Übergänge, kombinierte Lastfälle – liefert eine lineare FEM-Spannungsanalyse den zuverlässigsten Wert: Man vergleicht die berechnete Spitzenspannung im Modell direkt mit der analytisch bestimmten Nennspannung und erhält den Kennwert als Quotient. Dieser Weg ist aufwändiger, aber bei sicherheitsrelevanten oder unüblichen Bauteilen oft unumgänglich.

Für die alltägliche Praxis im Vorrichtungs- und Wellenbau reicht in den meisten Fällen Stufe 1 oder 2 aus – die FEM-Stufe lohnt sich vor allem bei Serienbauteilen mit hohem Schadensrisiko oder bei bereits aufgetretenen Schadensfällen, die analytisch nicht eindeutig erklärbar sind.

Ein praktischer Hinweis zur Diagrammablesung: Viele Normdiagramme sind doppellogarithmisch aufgetragen, damit auch kleine r/d-Verhältnisse im Bereich zwischen 0,01 und 0,05 noch ausreichend genau abgelesen werden können – in diesem Bereich steigt der Kennwert besonders steil an. Wer zwischen zwei gezeichneten Kurven liegt, sollte linear im logarithmischen Maßstab interpolieren, nicht im linearen Maßstab, da sonst der ermittelte Wert zu niedrig ausfällt. Tabellenkalkulationen mit hinterlegten Näherungsformeln nehmen diese Fehlerquelle zuverlässig heraus und werden deshalb in vielen Konstruktionsabteilungen anstelle der grafischen Ablesung eingesetzt, sobald eine Geometrie wiederkehrend berechnet werden muss.

Der ermittelte geometrische Kennwert ist kein Selbstzweck, sondern nur eine Zwischengröße auf dem Weg zum eigentlichen Ziel: der Aussage, ob ein Bauteil die geforderte Lebensdauer unter Betriebslast sicher erreicht. Nach der Umrechnung in die Kerbwirkungszahl β_k wird die so ermittelte Spitzenspannung mit der Wechsel- bzw. Dauerfestigkeit des Werkstoffs verglichen. Der Quotient aus zulässiger und tatsächlich auftretender Spannung ergibt den Sicherheitsfaktor S gegen Dauerbruch:

S = σ_D,zul / (β_k · σ_n)

In der betrieblichen Praxis wird meist ein Sicherheitsfaktor zwischen 1,2 und 2,0 angesetzt, abhängig davon, wie gut die Belastung bekannt ist, wie schwerwiegend ein Ausfall wäre und ob das Bauteil regelmäßig inspiziert werden kann. Bei Spannelementen, die im Dauerbetrieb automatisierter Fertigungslinien laufen und bei einem Ausfall einen kompletten Produktionsstopp verursachen können, wird in der Regel am oberen Ende dieser Spanne ausgelegt – ein Grund mehr, der geometrischen Spannungsüberhöhung an neuralgischen Stellen schon in der Konstruktionsphase besondere Aufmerksamkeit zu schenken, statt sie erst im Nachhinein über einen pauschal hohen Sicherheitszuschlag zu kompensieren.

Für die Konstruktion von Spannelementen, Spindeln und Aufnahmen ist diese Kenngröße kein akademischer Wert, sondern entscheidet direkt über die Lebensdauer einer Vorrichtung. Spannbolzen mit scharfen Gewindeausläufen, Spannpratzen mit kleinen Radien an der Krafteinleitung oder Wellen mit engen Sicherungsring-Einstichen weisen lokal eine deutlich höhere Spannungsüberhöhung auf – und damit ein höheres Risiko für Dauerbruch, selbst wenn die statische Nennspannung unauffällig aussieht.

Bei der Entwicklung der SI-MON Montage- und Spannvorrichtungen wird dieser Zusammenhang gezielt berücksichtigt: Kraftübertragende Elemente erhalten so großzügige Übergangsradien wie konstruktiv möglich, Querschnittssprünge werden entschärft und kritische Kerben – etwa an Spannbolzen oder Drehlagern – konstruktiv entlastet. Das senkt diesen Wert an den belasteten Stellen und verringert so das Risiko von Ermüdungsrissen im Dauerbetrieb deutlich.

• • Verwechslung mit der Kerbwirkungszahl: Der geometrische Wert allein sagt noch nichts über die Dauerfestigkeit aus – dafür ist die werkstoffabhängige Stützwirkung zusätzlich zu berücksichtigen.
  • Falsche Nennspannung: Wird die Nennspannung auf den falschen (z. B. gekerbten statt ungekerbten) Querschnitt bezogen, verfälscht das die gesamte Berechnung.
  • Extrapolation außerhalb des Diagrammbereichs: Die Diagramme gelten nur innerhalb der angegebenen r/d- und D/d-Bereiche – ein Ablesen außerhalb dieses Bereichs liefert unbrauchbare Werte.
  • Vernachlässigung mehrachsiger Kerben: Treffen mehrere Kerben nah beieinander auf (z. B. Bohrung direkt neben einem Wellenabsatz), können sich die Spannungsüberhöhungen gegenseitig verstärken – eine einfache Addition der Einzelwerte ist dabei nicht zulässig.
  • Einheiten- und Vorzeichenfehler: Besonders bei manueller Übertragung aus Diagrammen in Tabellenkalkulationen schleichen sich Ablesefehler ein – ein zweiter Blick auf Dezimalstellen und Kurvenschar lohnt sich immer.
  • Statische und dynamische Belastung verwechselt: Ein Bauteil, das nur statisch beansprucht wird, verträgt deutlich höhere Spannungsspitzen als ein schwingend belastetes – wer beide Lastfälle gleich behandelt, überdimensioniert entweder unnötig oder unterschätzt die tatsächliche Beanspruchung.

  Gerade im Vorrichtungsbau zahlt es sich aus, diese Fehlerquellen systematisch abzuprüfen: Eine kurze Checkliste pro Bauteil – Geometrieverhältnis bestimmt, richtiges Diagramm gewählt, Nennspannung korrekt bezogen, Lastfall eindeutig definiert – verhindert die meisten Fehlauslegungen, bevor sie in der Fertigung oder im Feld auffallen.

Die folgende Tabelle zeigt grobe Anhaltswerte für gängige Kerbformen, wie sie in Wellen, Bolzen und Spannelementen vorkommen. Die exakten Werte hängen immer vom konkreten Geometrieverhältnis ab und sind den Diagrammen nach DIN 743-2 bzw. der FKM-Richtlinie zu entnehmen – die Tabelle dient der groben Einordnung bei der Vorauslegung.

Auffällig: Scharfkantige Übergänge und tiefe, enge Einstiche – also genau die Geometrien, die aus Platz- oder Kostengründen gern „spitz“ konstruiert werden – erzeugen die höchste Spannungsüberhöhung. Jeder zusätzliche Zehntelmillimeter Radius an einer kritischen Stelle kann den Kennwert spürbar senken und damit die Lebensdauer eines schwingend belasteten Bauteils um ein Vielfaches erhöhen. Diese Tabelle ersetzt keine Einzelfallberechnung, zeigt aber zuverlässig, an welchen Konstruktionsdetails sich eine genauere Prüfung besonders lohnt.

Ausgangssituation: Eine Welle hat im kritischen Querschnitt einen Durchmesser von d = 30 mm, am Absatz steigt der Durchmesser auf D = 40 mm, der Übergangsradius beträgt r = 2 mm. Die Welle wird auf Biegung mit einem Moment M_b = 180 Nm belastet.

Schritt 1 – Geometrieverhältnisse bestimmen:

D/d = 40/30 = 1,33  |  r/d = 2/30 ≈ 0,067

Schritt 2 – αk aus dem Diagramm ablesen:

Für dieses Verhältnis liefert das Diagramm für Wellenabsätze unter Biegung (nach DIN 743-2 bzw. Neuber) einen Wert von näherungsweise α_k ≈ 1,55.

Schritt 3 – Nennspannung im ungekerbten Querschnitt berechnen:

Widerstandsmoment: W_b = (π · d³) / 32 = (π · 30³) / 32 ≈ 2.651 mm³

Nennspannung: σ_n = M_b / W_b = 180.000 Nmm / 2.651 mm³ ≈ 67,9 N/mm²

Schritt 4 – Spitzenspannung an der Kerbe berechnen:

σ_max = α_k · σ_n = 1,55 · 67,9 N/mm² ≈ 105,2 N/mm²

Ergebnis: Am Wellenabsatz tritt eine um rund 55 % höhere Spannung auf als im glatten Wellenquerschnitt – obwohl sich am Nennquerschnitt selbst nichts geändert hat. Erst im nächsten Schritt würde über die Stützziffer die Kerbwirkungszahl β_k ermittelt, um daraus die tatsächlich zulässige Dauerfestigkeit nach DIN 743 oder FKM-Richtlinie abzuleiten.

Ausgangssituation: Eine Welle mit d = 25 mm trägt eine Passfedernut nach DIN 6885 und wird mit einem Torsionsmoment M_t = 90 Nm belastet.

Schritt 1 – Kennwert aus dem Diagramm für Passfedernuten unter Torsion bestimmen:

Für diese Nutgeometrie liegt der typische Bereich bei α_kt ≈ 1,9 (siehe Tabelle oben).

Schritt 2 – Nennspannung im ungekerbten Querschnitt berechnen:

Polares Widerstandsmoment: W_t = (π · d³) / 16 = (π · 25³) / 16 ≈ 3.068 mm³

Nennspannung: τ_n = M_t / W_t = 90.000 Nmm / 3.068 mm³ ≈ 29,3 N/mm²

Schritt 3 – Spitzenschubspannung berechnen:

τ_max = α_kt · τ_n = 1,9 · 29,3 N/mm² ≈ 55,7 N/mm²

Ergebnis: Die Nutgeometrie nahezu verdoppelt die lokale Schubspannung gegenüber dem glatten Wellenquerschnitt. Dieses Beispiel zeigt, warum Passfedernuten in dynamisch belasteten Antriebssträngen häufig die kritische Stelle für den Dauerfestigkeitsnachweis darstellen – und warum alternative Verbindungen wie Pressverbindungen oder Zahnwellenprofile in hochbelasteten Anwendungen oft bevorzugt werden.

In der klassischen Wellenberechnung ist dieser Spannungskonzentrationsfaktor ein Standardthema – im Vorrichtungs- und Spannmittelbau wird er dagegen oft unterschätzt, obwohl die Konsequenzen hier genauso real sind. Spannbolzen, Spannpratzen, Spannelemente mit Gewindeeinstichen oder Sicherungsring-Nuten unterliegen im Betrieb häufig schwingenden oder stoßartigen Lasten, etwa durch wiederholtes Spannen und Lösen, Vibrationen beim Zerspanen oder Lastwechsel beim automatisierten Rüsten.

Genau deshalb fließt der Gedanke hinter dem geometrischen Kennwert in die Konstruktion von Spannsystemen wie der SI-MON-Baureihe ein: Übergänge zwischen unterschiedlichen Durchmessern werden bewusst großzügig verrundet statt scharfkantig ausgeführt, Gewindeeinstiche und Freistiche folgen normierten, spannungsarmen Geometrien, und hochbelastete Bolzen- und Hebelquerschnitte vermeiden abrupte Querschnittssprünge. Das Ziel ist in jedem Fall dasselbe: die Spannungsüberhöhung an kritischen Stellen so klein wie möglich zu halten, damit auch bei intensivem Dauereinsatz keine Ermüdungsrisse entstehen.

Für Konstrukteure, die eigene Vorrichtungen oder Adapterlösungen auslegen, lohnt sich ein kurzer Check an jeder Stelle, an der ein Querschnitt wechselt: Lässt sich der Radius vergrößern? Kann ein Freistich nach DIN 509 statt einer scharfen Kante eingesetzt werden? Muss die Nut an genau dieser Stelle liegen, oder lässt sie sich in einen weniger belasteten Bereich verschieben? Diese einfachen Fragen verhindern einen Großteil der späteren Dauerbruch-Probleme – deutlich günstiger, als ein bereits gefertigtes und im Feld ausgefallenes Bauteil nachträglich zu überarbeiten. Gerade bei individuell gefertigten Vorrichtungen, die über Jahre im Mehrschichtbetrieb laufen sollen, zahlt sich diese Sorgfalt bei der Konstruktion mehrfach aus: in Form von weniger Stillstandszeiten, weniger Ersatzteilbedarf und einer insgesamt höheren Prozesssicherheit in der Fertigung.

Hinzu kommt ein Aspekt, der in der reinen Festigkeitsrechnung leicht untergeht: die Fertigungsqualität der Kerbe selbst. Eine theoretisch günstige Geometrie mit großem Radius nutzt wenig, wenn der Übergang beim Drehen oder Fräsen durch Werkzeugmarkierungen, Riefen oder einen unsauberen Freistich zusätzliche Mikrokerben erhält, die lokal wieder eine erhöhte Spannungskonzentration erzeugen. In der Serienfertigung von Spannelementen gehört deshalb die Kontrolle kritischer Übergangsradien und Oberflächen an hochbelasteten Kerbstellen ebenso zur Qualitätssicherung wie die reine Maßprüfung – ein Detail, das über die rechnerische Auslegung hinausgeht, für die tatsächliche Bauteillebensdauer aber ebenso entscheidend ist.

In der Praxis zahlt es sich zudem aus, die Betrachtung nicht isoliert auf ein einzelnes Bauteil zu beschränken, sondern den gesamten Kraftfluss einer Vorrichtung im Blick zu behalten. Eine Spannpratze mit optimal verrundeten Übergängen bringt wenig, wenn die anschließende Aufnahmebohrung im Grundkörper oder der Gewindeeinstich der Spannschraube die eigentliche Schwachstelle darstellt. Erfahrene Konstrukteure gehen deshalb systematisch jeden Querschnittswechsel im Kraftfluss durch – vom Spannelement über den Adapter bis zum Grundkörper der Vorrichtung – und priorisieren die Stellen mit der höchsten rechnerischen Spannungsüberhöhung für eine gezielte konstruktive Überarbeitung. Diese Vorgehensweise lässt sich gut mit den bestehenden Online-Rechnern zur Wellen- und Kerbwirkungsberechnung kombinieren: Zunächst wird die kritischste Kerbstelle überschlägig identifiziert, anschließend im jeweiligen Rechner detailliert nachgerechnet, um zu entscheiden, ob eine konstruktive Anpassung oder ein höherer Sicherheitsfaktor der wirtschaftlichere Weg ist.

Da dieser Kennwert eine rein geometrische Größe ist, lässt er sich – anders als Werkstoffkennwerte – direkt durch Konstruktionsentscheidungen beeinflussen. In der Praxis haben sich folgende Maßnahmen bewährt:

• Übergangsradien vergrößern: Schon eine Verdopplung des Radius an einem Wellenabsatz kann αk um 20–30 % senken.
• Freistiche nach DIN 509 statt scharfer Kanten an Stellen, die aus Fertigungsgründen (z. B. Schleifen) einen definierten Übergang benötigen.
• Entlastungskerben gezielt vor einer unvermeidbaren Hauptkerbe setzen, um den Spannungsverlauf „weicher“ zu gestalten.
• Nuten und Bohrungen in weniger belastete Zonen verschieben, wenn die Funktion dies zulässt – etwa außerhalb des Bereichs mit dem höchsten Biegemoment.
• Mehrere kleine Kerben statt einer großen vermeiden, wenn sich die Spannungsfelder gegenseitig verstärken könnten.
• Oberflächenbehandlung (z. B. Festwalzen, Kugelstrahlen) ergänzend einsetzen, um die Kerbempfindlichkeit des Werkstoffs an der kritischen Stelle zusätzlich zu senken – dies wirkt auf die Kerbwirkungszahl, nicht direkt auf den rein geometrischen Wert.
• Simulationsgestützte Vorauslegung bereits in frühen Konstruktionsphasen nutzen, um kritische Übergänge zu identifizieren, bevor ein teures Erstmuster gefertigt wird.

Diese Prinzipien gelten unabhängig davon, ob es sich um eine Antriebswelle, einen Spannbolzen oder ein individuell gefertigtes Vorrichtungsbauteil handelt – die Grundmechanik der Spannungskonzentration an Kerben ist immer dieselbe, nur die konkrete geometrische Ausprägung unterscheidet sich von Anwendung zu Anwendung.

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Wer Spannmittel, Vorrichtungen oder Bauteile für den dauerhaften industriellen Einsatz konstruiert, profitiert davon, die Formzahl nicht nur als theoretischen Festigkeitsbegriff zu kennen, sondern sie als festen Bestandteil der eigenen Konstruktionspraxis zu verstehen: Jeder Radius, jeder Übergang, jede Nutposition ist eine bewusste oder unbewusste Entscheidung über die spätere Lebensdauer des Bauteils. Bei Fragen zur Auslegung eigener Spannlösungen oder individueller Vorrichtungen steht das Team von JuS Spanntechnik beratend zur Seite.